Карачаево – Черкесский государственный университет
им. У.Д.Алиева, г. Карачаевск
Математика сегодня- эта одна из жизненно важных областей знания современного человечества, необходимая для существования человека в цивилизованном обществе. Широкое использование техники, в том числе и компьютерной, требует от индивида определенного минимума математических знаний и представлений.
В начале нашей статьи сделаем попытку раскрыть основные понятия
используемые по теме.
Интерпретация (от латинского «interpretato» – разъяснение, толкование, истолкование) определяется как совокупность значений (смыслов) придаваемых каким-либо образом элементам некоторой системы (теории), например формулам и отдельным символам. В математическом аспекте интерпретация – это экстраполяция исходных положений какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исходные положения которой определяются независимо от формальной системы. Следовательно, можно утверждать, что интерпретация – это установление соответствия между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т.е установлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения формальной системы получают подтверждение в содержательной системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некоторый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие нарушается, имеет место частичная интерпретация.
При математическом моделировании в результате интерпретации задаются значения элементов математических выражений (символов, операций, формул) и целостных конструкций.
Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание интерпретации применительно к задаче математического моделирования.
Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании – это информационный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения непустого информационного множества данных и знаний определяемого АМО и называемого областью интерпретации, в кообласть – информационное множество данных и знаний, определяемого предметной областью и объектом моделирования и называемое областью значений интерпретаций.
Интерпретация — теоретико-познавательная категория; метод научного познания, направленный на понимание внутреннего содержания интерпретируемого объекта через изучение его внешних проявлений (знаков, символов, жестов, звуков и др.). Интерпретация занимает центральное место в методологии гуманитарных наук, где процедура выявления смысла и значения изучаемого объекта является основной стратегией исследователя.
Становление интерпретации как метода научного познания
Искусство интерпретации ведет свое начало со времен Античности. Интерпретация как искусное толкование поэтов возникает в Греции в связи с потребностями школьного обучения[3]. В дальнейшем интерпретация развивается как базовое понятие герменевтики, которая изначально была искусством толкования текстов, а впоследствии оформилась в качестве философско-методологического учения. Большой вклад в становление герменевтики как общей теории понимания и интерпретации внесли Фридрих Шлейермахер, Вильгельм Дильтей, Поль Рикёр, Ханс-Георг Гадамер. Становление герменевтики в качестве философского учения оказало важное влияние на интерпретацию. Происходит расширение предметного поля интерпретации. С этого момента интерпретация не сводится исключительно к работе с текстами, но имеет дело с иными формами и проявлениями человеческого существования[4].
Проблема интерпретации как метода научного познания впервые была поставлена немецким философом Вильгельмом Дильтеем в рамках общей проблематики гуманитарных наук, или «наук о духе» (Geisteswissenschaften). Дильтей в условиях господства позитивистской философии, когда естественные науки являлись образцом научного мышления, поставил вопрос о научном познании отдельных лиц и единичных в своем роде исторических событий. Дильтея интересовало, возможно ли такое познание вообще, и какие средства имеются для его достижения[5]. Задача, которую ставил перед собой Дильтей, состояла в том, чтобы придать «наукам о духе» значение, сопоставимое со значением наук о природе в эпоху господства позитивистской философии[6].
Поскольку объектом изучения «наук о духе» являются не данные в чувствах явления, подчиняющиеся объективным законам природы, а предметы и процессы, соизмеримые с самим человеком, касающиеся непосредственно человеческой жизни, являющиеся результатами человеческой деятельности, то наиболее дискуссионным был вопрос относительно их методологии. Дильтей был уверен, что научное познание в «науках о духе» возможно, и в основе его лежит уникальный, свойственный исключительно гуманитарным наукам метод интерпретации. Согласно Дильтею, «интерпретация – искусное разумение длительно фиксируемых жизненных проявлений»[7]. В свою очередь, под разумением Дильтей понимал процесс распознавания внутреннего содержания объекта по его внешним знакам, которые могли иметь форму музыкально оформленных звуков, жестов, слов, действий, хозяйственных уставов и укладов.
Становление герменевтики в качестве философско-методологического учения, а также новый подход к гуманитарному знанию способствуют оформлению интерпретации в качестве метода познавательной деятельности. Немецкий философ Ханс-Георг Гадамер рассматривает интерпретацию как одну из теоретико-познавательных категорий, которая «работает» в таких имеющих большое гуманитарное значение науках и сферах деятельности, как история и семиотика, логика и гносеология языка, филология и литературная критика, переводческая деятельность[8]. По мнению французского философа Поля Рикёра цель интерпретации состоит в преодолении дистанцию между минувшей культурной эпохой, которой принадлежит объект интерпретации, и самим интерпретатором[9].
Математическая модель (ММ) – это описание протекания процесса, описание состояния или изменения состояния системы на языке алгоритмических действий с математическими формулами и логических переходов.
Кроме того, ММ допускает работы с таблицами, графиками, номограммами, выбор из совокупности процедур и элементов (последнее подразумевает использование операций предпочтения, частичной упорядоченности, включения, определение принадлежности и т.п.).
Различные математические правила манипулирования со связями системы позволяют делать предсказания относительно тех изменений, которые могут произойти в исследуемых системах, когда изменяются их составляющие.
Сложность формирования математической модели связана с необходимостью владения математическими методами и предметных знаний, т.е. знаний в той области, для которой создается модель. В реальности специалисту в данной практической области часто не хватает математических знаний, сведений о моделировании вообще, а для сложных задач – знания системного анализа. С другой стороны, прикладному математику трудно хорошо ориентироваться в предметной области.
Следует заметить, что деление моделей на вербальные, натурно знаковые в определенной степени условно. Так, существуют смешанные типы моделей, скажем, использующие и вербальные, и знаковые построения. Можно даже утверждать, что нет знаковой модели без сопровождающей описательной – ведь любые знаки и символы необходимо пояснять словами. Часто и отнесение модели к какому-либо типу является нетривиальным.
Общие и конкретные модели. Все типы моделей необходимо перед их применением к конкретной системе наполнить информацией, соответствующей используемым силам, макетам, общим понятиям. Наполнение информацией в большей степени свойственно знаковым моделям, в наименьшей – натурным. Так, для математической модели – это выделенные (вместо буквенных) значения физических величин коэффициентов, параметров; конкретные виды функций, определенные последовательности действий, графы структуры Наполненную информацией модель принято называть конкретной, содержательной.
Модель без наполнения информацией до уровня соответствия единичной реальной системе называется общей (теоретически абстрактной, системной).
Так, в процессе декомпозиции мы используем понятие формальной модели. Это относится ко всем типам моделей, в том числе, к математическим.
Чтобы уяснить место математической модели рассмотрим процесс формирования собственно научного знания. Принято делить науки на две группы.
а) точные – (скорее термин «точные» основан на вере, что открываемые закономерности являются абсолютно точными);
б) описательные.
Процесс построения математической модели
Процесс построения математической модели не является строго формализованным (зависит от исследователя, его опыта, таланта, опирается на определенный опытный материал (феноменологическая основа моделирования, содержит предположения, определяющую роль играет и интуиция).
В разработке моделей можно выделить три основные стадии:
– построение модели;
– пробная работа с моделью;
– корректировка и изменение модели по результатам пробной работы.
Современное математическое моделирование немыслимо без привлечения вычислительной техники (численное моделирование, численный эксперимент).
Схематически процесс создания математической модели можно разбить на следующие этапы, отражающие степень взаимодействия человека и ЭВМ:
1) установление возможных форм связей (человек);
2) составление варианта математического моделирования (человек):
– определение входных и выходных переменных;
– введение допущений;
– установление ограничений;
– формирование математических зависимостей;
3) решение модельных задач (машина);
4) сравнение результатов решения с накопленной информацией, определение несоответствий (машина, человек);
5) анализ возможных причин несоответствия (человек);
6) составление нового варианта модели (человек).
При моделировании процессов в техносфере, как при нормальном функционировании человеко-машинных систем, так и в ЧС приходится иметь дело с их большим разнообразием и высокой сложностью, что требует знания не только наиболее общих законов, но и частных закономерностей.
К числу наиболее общих законов техносферы относятся уравнения баланса массы, законы сохранения центра масс, количества движения, момента количества движения, энергии, справедливые при определенных условиях для любых материальных тел и технологических процессов, независимо от их структуры, состояния и химического состава. Эти уравнения подтверждены огромным количеством экспериментов.
Более частные соотношения в физике и механике в частности называются физическими уравнениями или уравнениями состояния. Например, закон Гука, устанавливающий связь между механическим напряжением и деформацией упругих тел, или уравнение Клапейрона – Менделеева.
Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из основополагающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного) моделирования.
Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам (компонентам) математического выражения, делает последнее математической моделью реального объекта.
Виды и уровни интерпретаций.
Создание математической модели системного элемента – многоэтапный процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ, является интерпретация. Количество этапов и их содержание зависит от начального (исходного) информационного содержания интерпретируемого математического объекта – математического описания и требуемого конечного информационного содержания математического объекта – модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий переход от АМО – описания к конкретной ММ, включает четыре вида интерпретаций: синтаксическую (структурную), семантическую ( смысловую), качественную (численную) и количественную. В общем случае, каждый из перечисленных видов интерпретации может иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно перечисленные виды интерпретаций.
Синтаксическая интерпретация.
Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение морфологической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического языка, так и различных математических языков.
При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов задач реализации.
Задача 1. Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации сформировать морфологическую структуру математического выражения.
Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру, которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя (эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации преобразовать в соответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру Stв адекватную требуемую St, т.е.
Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру St, удовлетворяющую общим принципам и требованиям исследователя с точки зрения ее синтаксической организации. Требуется посредством синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой St до уровня требований, определяемых целями и задачами моделирования.
Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естествознания, Галилео Галилей (1564 – 1642гг.) говорил, что “Книга природы написана на языке математики”. Почти через двести лет родоначальник немецкой классической философии Иммануил Кант (1742 – 1804гг.) утверждал, что “Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики”. Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практически уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 – 1943гг.) констатировал: “Математика – основа всего точного естествознания”.
Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов.
Три этапа математизации знаний
Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний: математическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории.
Первый этап – это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто феноменологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигналами (входами ) и выходными реакциями (откликами ) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами . Данный этап математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её эмпирического материала.
Второй этап математизации знаний определим как модельный. На этом этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных, базовых (фундаментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные. Таким образом, на “модельном” этапе математизации, т.е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического воспроизведения, “теоретической реконструкции” некоторого интересующего исследователя объекта-оригинала в форме другого объекта – математической модели.
Третий этап – это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Третий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиоматики. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт возможность преодолевать узость мышления, порождаемую специализацией.
Модель – это построенный по определенным правилам аналог исследуемого объекта, процесса, ситуаций, который отражает структуру связи и отношении исследуемого объекта и должен быть способен замещать его так, что его изучение дает нам новую информацию об этом объекте. Под моделированием, таким образом, можно понимать способ построения модели. [1, c. 305].
Математическое моделирование и модель
Математическое моделирование – это теоретико-экспериментальный метод познавательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов – математических моделей.
Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения – реакции, в зависимости от параметров объекта-оригинала, входных воздействий, начальных и граничных условий, а также времени.
Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математические описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями.
Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П. Дж. Коэном.
Математическая модель– это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.
Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами (“грамматика” и “синтаксис” математических выражений) приводят к формированию абстрактных математических объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математической моделью.
Таким образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в технологии математического моделирования, рассмотрим более подробно.
Таким образом, синтаксическая интерпретация математических объектов дает возможность формировать морфологические структуры АМО, осуществлять отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать морфологические структурные представления АМО в рамках одного математического языка.
Семантическая интерпретация.
Семантическая интерпретация предполагает задание смысла математических выражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и знаков в терминах сферы, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация дает возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы, виды, классы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и абстрагирования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая интерпретация представляется как многоуровневый , многоэтапный процесс.
Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл абстрактному математическому объекту, «переводит» последний в категорию математической модели с объекта – оригинала, в терминах которого и осуществляется такая интерпретация.
Качественная интерпретация.
Интерпретация на качественном уровне предполагает существование качественных параметров и характеристик объекта – оригинала, в терминах (значениях) которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут использоваться графические и числовые представления, посредством которых, например, интерпретируется режим функционирования объекта моделирования.
Количественная интерпретация
Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин, определяющих значение параметров, характеристик, показателей.
В результате количественной интерпретации появляется возможность из класса, группы или совокупности аналогичных математических объектов выделить один единственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта – оригинала.
Таким образом, в результате четырех видов интерпретации – синтаксической, семантической, качественной, и количественной происходит поэтапная трансформация АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы, в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта моделирования.
Использованные источники
- Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. – М: Владос, 2005. – 455с.
- Белов П.Г. Системный анализ и моделирование процессов в техносфере. – М.: Academia, 2003, с. 48-59.
- Дильтей В. Герменевтика и теория литературы. – М.: Дом интеллектуальной книги, 2001. – Т. 4. – С. 241.
- Микешина Л. А. Философия науки : учеб. пособие. – М.: Прогресс-Традиция, 2005. – С. 99.
- Дильтей В. Герменевтика и теория литературы. – М.: Дом интеллектуальной книги, 2001. – Т. 4. – С. 237.
- Рикёр П. Конфликт интерпретаций. Очерки о герменевтике. – М.: Академический Проект, 2008. – С. 41.
- Дильтей В. Герменевтика и теория литературы. – М.: Дом интеллектуальной книги, 2001. – Т. 4. – С. 239.
- Гадамер Х.-Г. Истина и метод. Основы философской герменевтики. – М.: Прогресс, 1988. – С. 35.
- Рикёр П. Конфликт интерпретаций. Очерки о герменевтике. – М.: Академический Проект, 2008. – С. 40.
Свежие комментарии