Карачаево-Черкесский государственный университет им. У.Д. Алиева

Рассматривая проблему развития математического мышления учащихся, следует обратить внимание на результаты российских и международных исследований, где наши российские школьники в последние годы занимали далеко не лучшие места. И главная причина таких результатов заключается в неумении сориентироваться в данной ситуации: представить реальные размеры той или иной рассматриваемой величины, анализировать данные задачи, подметить существенное или общее, короче говоря, в слабо развитом уровне математического мышления.

В качестве средств развития математического мышления разными исследователями выдвигались различные приемы:

  • использование исторического материала;
  • постановка проблемных ситуаций на уроках математики;
  • применение занимательного материала; алгоритмическое предписание шагов для решения уравнений, неравенств, задач разного уровня;
  • задачный материал (текстовые задачи, задачи с геометрическим содержанием, задачи на переливание, задачи на движение и т.п.).

Математические задачи должны, прежде всего, будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обу­чаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Все сказанное касается самого содержания курса математики. Но есть и такие средства, выступающие в роли усилителя, например, информационно-коммуникационные технологии (ИКТ). Наша задача заключается в построении такой системы развития математического мышления учащихся основной школы, которая бы учитывала все, до сих пор известные, аспекты, но через призму современных технологий.

Среди многообразия задач есть задачи, рассматриваемые отдельно в школьном курсе геометрии. Будем их называть геометрическими задачами.

Изучение геометрии в школе преследует три цели: во-первых – понимание того, что геометрические фигуры – это отражение объектов реальной действительности; во-вторых – это то, что у школьников формируется пространственное воображение и, наконец, – развитие умения логически рассуждать и делать выводы.

Академиком А.Д. Александровым вместе с авторским коллективом создан пробный учебник геометрии, в который вошло значительное число задач, содержание которых несет умственную нагрузку и способствует развитию математического мышление.  В целом, автор считает, что «задача преподавания геометрии – развить у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понима­ние и логическое мышление» [1].

Рассмотрим некоторые перспективно значимые средства.

Задачи

Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анали­зировать заданную ситуацию, сопо­ставлять данные и искомые, решае­мую задачу с решенными ранее, вы­являя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и чет­ко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении за­дачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать задачный материал при решении проблемы развития математического мышления».

Структурно система развития математического мышления выглядеть будет следующим образом.

Умение конкретизировать

 

Исторические задачи

           

 

Рис. 1. Структура развития математического мышления учащихся

Академик А. В. Погорелов на первое место ставит развитие логического мышления учащихся.  Он пишет: «Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания гео­метрии в школе – научить учащихся логически рассуждать, аргу­ментировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать»[8].

Особое внимание геометрическому материалу уделено еще и потому, что чертеж учит думать. Практически все геометрические задачи предполагают работу с чертежами. Такие качества у учеников, как умение читать чертеж, строить чертеж, преобразовывать его, дополнять недостающими элементами характеризуют элементы математического мышления.

Любой чертеж – это наглядный образ. В зависимости от того, насколько удачно будет представлен чертеж в первый момент введения нового знания, многое зависит. Возможности компьютера в решении этого вопроса велики. Нет сомнения, что высветившийся на экране рисунок или чертеж к задаче, вызовет удивление, восторг и от этого только усиливается сила первого впечатления. Работа с чертежами представляет собой определенную методическую проблему. Ученики зачастую не могут изобразить параллелепипед, но они знают, что он собой представляет.

Работа на интерактивной доске, конечно же, облегчает труд учителя, и нет надобности вычерчивать его на доске. Но на интерактивной доске можно показать расположение параллелепипеда относительно какого-то определенно выбранного объекта. Кроме того, можно показать несколько видов чертежей для полного осмысления связей между элементами задачи.

Колягин Ю.М. по этому поводу отмечает: «Чтобы устранить трудности при выполнении операции переосмысливания, следует обращать внимание учащихся на случай соответствия фигур двум и более понятиям. Чертежи и рисунки – эффективное средство формирования у учащихся умения подмечать закономерности на основе наблюдений, вычислений, преобразований, сопоставлений» [7].

Обращаясь к учителям математики, Д Пойа писал: «Результат творческой работы математики – доказательное рассуждение, доказательство, но доказательство открывают с помощью правдоподобных рассуждений, с помощью догадки… Преподаватель должен показывать, что догадки в области математики могут быть разумными, серьезными, ответственными… Давайте учить догадываться!» [10].

В такой же последовательности надо учить школьников приемам математического мышления: сравнению, анализу, синтезу, обобщению, конкретизации, и т.п. Например, в заданиях по ОГЭ приведено достаточно большое количество задач на выяснение одного верного ответа из четырех. Задания построены таким образом, что проверяют умение учащихся 9 класса разбираться в свойствах фигур. Речь может идти о диагоналях ромба и прямоугольника, трапеции и квадрата; о параллельных прямых, об углах, образовываемых при пересечении их третьей – секущей и т.п.

Геометрический материал тем ценен, что с первых занятий у учеников формирует умение любой факт доказывать или опровергать, ссылаясь при этом на теоретические положения: аксиомы, определения, признаки, свойства объектов или ранее доказанные теоремы. Доказательство ведется на логической основе.

Итак, обобщим рассмотренное. Вся работа с чертежами необходима для того, чтобы усилить развитие математического мышления учащихся.

Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятель­ность учеников на уроке.

Взрослому человеку, как в повседневной жизни, так и в профес­сиональном труде для принятия правильных решений исключительно важно уметь рассматривать всевозможные случаи создавшейся ситуации. Умение же предусмотреть всевозможные варианты некоторой ситуа­ции свидетельствует о развитости мышления рассматривающего эту ситуацию.

Умение рассуждать включает в себя и умение оценивать истин­ность или ложность высказываний, правильно составлять сложные высказывания и суждения, т. е. логически правильно употреблять союзы «и», «или», отрицание «не». Обучение вер­ному применению этих связок помогает воспитанию у учащихся мате­матически грамотной речи, а мышление, как известно, связано с язы­ком, речью человека.

Таким образом, «эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач». Следовательно,  «необходимы матема­тические задачи и упражнения, которые бы активизировали мысли­тельную деятельность школьников».

Саранцев Г.И. подразделяет задачи на следующие виды: «задачи, рассчитанные на воспроизведе­ние (при их решении опираются на память и внимание);  задачи, ре­шение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи» [6]. Активизирует и развивает мышление  учащихся решение задач двух последних видов.

Существенно для развития математического мышления учащихся формирование умений правильно выделять посылки и заключения. Такие умения формируются обычно при решении задач на доказатель­ство.   На первых же порах необходимы упражнения в расчленении некоторых предложений на досылки и заключения.

«Осуществляя целенаправленное математическое развитие школьников, следует помнить, что задачи являются здесь наиболее естественным и наиболее эффективным средством. Чтобы облегчить решение  текстовой  задачи,  строят  вспомогательные модели. При этом используется такие  операции  мышления,  как  анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение,  которые  являются  операциями мышления, и способствует его развитию. Использование вспомогательных моделей на уроках математики, несомненно,  влечёт  за   собой   развитие   логического   мышления» [5].

На сегодняшний день в методической литературе имеется большое количество логических и других задач, при решении которых могут быть использованы графы. Их использование в обучении детей математике способствуют их интеллектуальному развитию, которое благоприятно сказывается на качестве математического мышления.

«Учителю, развивающему в учащихся познавательный интерес к предмету, полезно вводить занимательные задачи как элементы урока, обязательные для всех без исключения учащихся, независимо от их оценок по предмету. Можно предлагать по одной нестандартной задаче в качестве дополнительного домашнего задания, которое выполняется по желанию. Справившихся с заданиями ребят необходимо поощрять, причём не только отметкой, но и назначением консультантами по проверке задач, ввести рейтинг эрудитов, авторов придуманных заданий. Комплекс заданий, предложенный ребятам для решения дома на длительный промежуток времени, может служить заочным соревнованием или отборочным туром для участия в конкурсах и олимпиадах» [4].

Проводя исследования  сюжетных  математических задач, установили, что «школьники овладевают как общими исследовательскими умениями (анализ, синтез, сравнение, обобщение, наблюдение, выявление закономерности, выдвижение гипотезы; выделение условий, при которых выполняется некоторое свойство объекта; установление того, как при изменении условий изменяется объект или как изменении объекта изменяются его свойства и др.), так и специальными математическими (умением устанавливать структурное сходство внешне различных систем, переформулировать задачу, разбивать задачу на подзадачи; исследовать выражения с переменными; исследовать решение сюжетной задачи и др.)» [5].

Сюжетные задачи легко инсценируются и успешно могут применяться при проведении внеклассных мероприятий: «Турнир Смекалистых», «Бой Эрудитов», «Математическая шкатулка», «Что? Где? Когда?», «Математический Хоккей», «Брейн-ринг», различных математических вечеров, викторин и испытаний.

Проведение внеклассной работы по математике – это ещё один путь развития математического мышления.

Для решения этой задачи полезно использовать следующие виды внеклассной работы:

  • минуты занимательной математики (во время прогулок, минуты отдыха, во время экскурсий и т. д.). На минутках занимательной математики можно использовать загадки, ребусы, занимательные вопросы, такие как: у стола 4 ножки. А вопрос таков: сколько будет вместе ножек у 17 столов?
  • занятия математического кружка;
  • оформление математического уголка в классной комнате;
  • проведение конкурсов, викторин, классных и школьных олимпиад.

Не менее ценным для развития математического мышления являются и спецкурсы по математике. Например, курс Н.К. Винокуровой «Развитие познавательных способностей». В нём собраны специальные задания, стимулирующие психические функции, логические и творческо-поисковые задания, нестандартные задачи, математические разминки.  Курс разработан в системе Н.Ф.Виноградовой [3].

Существует некоторая связь между математическим мышлением и математической грамотностью.

Под математической грамотностью понимается способность высказывать обоснованные математические суждения и использовать математические средства для решения практических, исследовательских и познавательных проблем. Такие же цели ставятся при решении проблемы развития математического мышления.

Выпускник школы стоит сегодня перед проблемой прохождения Государственной итоговой аттестации и успешной сдачи Единого государственного экзамена, которые всё чаще включают в себя компетентностные задачи. Решение заданий такого рода вызывает множество ошибок и затруднений. При изучении математики в основной школе не хватает учебного времени для решения текстовых задач как математических моделей реальных ситуаций во всём их многообразии, т.е. прерывается ещё одна содержательная линия преемственности между начальной и основной школой.

Поэтому необходимо создание программы развития математического мышления через практико-ориентированный курс по решению текстовых задач, включающего сюжетные задачи разнообразного типа. Как было рассмотрено выше задачи играют существенную роль в решении обозначенной проблемы. Вопрос только заключается в том, как за относительно короткий промежуток времени охватить все разнообразие задач. Необходима специально разработанная программа с использованием информационно-компьютерных технологий.

Нами разработана Программа спецкурса на один год обучения и предназначена для учеников 9-х классов, работающих в кружке, с учётом их предложений. Курс рассчитан на 144 часа. Занятия проводятся 2 раза в неделю по 2 учебных часа.

Цель программы – развитие математического мышления обучающихся (личностные результаты), развитие осознанного отношения к самостоятельной учебно-познавательной деятельности (метапредметные результаты) при определении и решении текстовых задач разного уровня сложности (предметные результаты).

Учебно-тематический план

Номер п/п Тема занятия Часов Теория Практика
Тема 1 Введение 8 4 4
1. Что такое текстовая (сюжетная) задача? 4 2 2
2. Математический язык 4 2 2
Тема 2 Основные понятия 24 12 12
1. Величина. Виды величин 4 2 2
2. Единицы измерения величин 4 2 2
3. Значение величины 4 2 2
4. Выражения 4 2 2
5. Формулы 4 2 2
6. Математическая модель 4 2 2
Тема 3 Установление связей между основными понятиями посредством моделирования реальной ситуации 28 14 14
1. Построение понятия «математическая модель» 12 6 6
2. Построение алгоритма моделирования реальной ситуации 4 2 2
3  Проверка и корректировка алгоритма 8 4 4
4. Деление сюжетных задач на виды 4 2 2
Тема 4 Решение задач «на движение» 16 8 8
Тема 5 Решение задач «на работу» 16 8 8
Тема 6 Решение задач «на части и проценты» 16 8 8
Тема 7 Решение задач «о смесях и сплавах» 16 8 8
Тема 8 Решение задач «о бассейнах и трубах» 16 8 8
Тема 9 Решение комбинированных задач 4 2 2

Таким образом, основная задача развития математического мышления направлена на то, что она в дальнейшем будет давать возможность не только получать знания и умения в рамках стандартной программы, но и научиться их использовать в нестандартных ситуациях, грамотно спроектировать свою деятельность в различных условиях.

 

Использованная литература:

 

  1. Александров А.Д. Выпуклые многогранники / А.Д. Александров. – Новосибирск: Наука, 2007 – iv + 492 с. – (Избранные труды; Т. 2).
  2. Атаханов, Р. Математическое мышление и методики определения уровней его развития / Под ред. В.В. Давыдова. – М. – Рига, 2000 – 208 с.
  3. Виноградова, Л.В. Развитие мышления учащихся при обучении математике / Л.В. Виноградова. – Петрозаводск: Карелия, 1989. – 163 с.
  4. Колмогоров А.Н. О профессии математика. – М.: Изд-во МГУ,- 1960. -30с.
  5. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч.1.2 – М.: – 1977. – 142.
  6. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности.- М.: Педагогика, 1992. – 174с.
  7. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. / А.М. Матюшкин. – М.: Директмедиа Паблишинг, 2008 . – 392 с.
  8. Погорелов, А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. ср. шк / А.В. Погорелов. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 78 с.
  9. Пойа Дж. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. – М., 1976. – 448 с.
  10. Попова Н.А. Влияние управления информатизацией в общеобразовательном учреждении на совершенствование образовательного процесса / Н.А. Попова // Сборник научных статей. -Самара, 2007. Вып. 4. – С. 48-54.
  11. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (5-9классы)
  12. Формирование приемов математического мышления / под ред. Н.Ф. Талызиной. – М.: Наука, 1995. – 145 с.
Login